Question

6．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于M，N两点，A为左顶点，设∠MAN=θ，双曲线C的离心力为f（θ），则f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由丨MF丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨AF丨=a+c，tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{丨MF丨}{丨AF丨}$$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{c-a}{a}$=e-1，f（θ）=tan$\frac{θ}{2}$+1，代入即可求得答案．

解答 解：由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
丨MF丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨AF丨=a+c，离心率e=$\frac{c}{a}$，
∠MAN=θ，则tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{丨MF丨}{丨AF丨}$$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{c-a}{a}$=e-1，
∴e=tan$\frac{θ}{2}$+1，
双曲线C的离心率为f（θ）=tan$\frac{θ}{2}$+1，
f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$+1-（tan$\frac{π}{6}$+1）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．