Question

18．已知二次函数f（x）满足f（-2）=f（0）=-3，且对任意实数x，都有f（x）≥-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1
①若m＜0，证明：g（x）在（-∞，1]上有且只有一个零点；
②若m＞0，求y=|g（x）|在[-3，$\frac{3}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对称轴为x=-1，最小值为-4，不妨设f（x）=a（x+1）²-4，利用f（0）=a-4=-3，求出a的值，
（Ⅱ）①化简g（x），利用对称轴以及g（x）的单调性，结合函数的零点，判断即可，
②利用g（-1）=1-4m，g（-3）=1，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，通过m＞0，当1-4m≥0，或1-4m＜0，分别求解函数的最值即可

解答 解：（Ⅰ）由f（-2）=f（0）=-3，对任意实数x，都有f（x）≥-4，
则对称轴为x=-1，最小值为-4，
不妨设f（x）=a（x+1）²-4，
∴f（0）=a-4=-3，
解得a=1，
∴f（x）=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（Ⅱ），①由题意可得g（x）=m（x+1）²-4m+1，m＜0，
对称轴为x=-1＜1，
∴g（x）在（-∞，-1]上单调递增，在（-1，1]上单调递减，
∵g（1）=1＞0，g（-1）=1-4m＞0，
∴g（x）在（-1，1]上没有零点，在（-∞，-1]上有且只有一个零点，
∴g（x）在（-∞，1]上有且只有一个零点，
②g（-1）=1-4m，g（-3）=1，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
∵m＞0，
∴g（$\frac{3}{2}$）＞g（3），
当1-4m≥0时，即m$≤\frac{1}{4}$时，y_max=|g（x）|_max=g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
当1-4m＜0时，即m＞$\frac{1}{4}$时，若4m-1≤$\frac{9}{4}$m+1，即$\frac{1}{4}$＜m≤$\frac{8}{7}$，y_max=|g（x）|_max=g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
若4m-1＞$\frac{9}{4}$m+1，即m＞$\frac{8}{7}$，y_max=|g（x）|_max=|g（-1）|=4m-1，
综上所述：当0＜m≤$\frac{8}{7}$时，y_max=$\frac{9}{4}$m+1，当m＞$\frac{8}{7}$时，y_max=4m-1

点评 本题考查了二次函数的解析式和二次函数的性质，以及函数的零点定理和二次函数的最值，属于中档题