Question

9．设A、B分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P，Q是双曲线C上关于x轴对称的不同两点，设直线AP、BQ的斜率分别为m、n，则$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1）．A（-a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：mn=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，则$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{2{b}^{2}}$+ln$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=f（$\frac{a}{b}$），令$\frac{a}{b}$=t＞0，则f（t）=$\frac{2}{t}$+t+$\frac{1}{2}$t²-2lnt．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则Q（x₀，-y₀），y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由双曲线的方程可得A（-a，0），B（a，0），
则m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴mn=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{2|mn|}$+ln|m|+ln|n|
=$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{2{b}^{2}}$+ln$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
=f（$\frac{a}{b}$），
令$\frac{a}{b}$=t＞0，则 f（t）=$\frac{2}{t}$+t+$\frac{1}{2}$t²-2lnt．
f′（t）=-$\frac{2}{{t}^{2}}$+1+t-$\frac{2}{t}$=$\frac{（t+1）（{t}^{2}-2）}{{t}^{2}}$，
可知：当t=$\sqrt{2}$时，函数f（t）取得最小值
f（$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×2-2ln $\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+1-ln2．
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．