Question

14．已知S=（x-a）²+（lnx-a）²（a∈R），则S的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得S的几何意义为两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值．

解答 解：S=（x-a）²+（lnx-a）²（a∈R）的几何意义为：
两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，
由y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
点（a，a）在直线y=x上，
令$\frac{1}{x}$=1，可得x=1，
即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为（1，0），
由点到直线的距离可得d=$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有S的最小值为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查最值的求法，注意运用两点的距离的几何意义，考查导数的运用：求切线的斜率，以及点到直线的距离公式，考查转化能力和运算能力，属于中档题．