Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+3]，不等式f（x+t）≥3f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A．[3+3

  3

   ， +∞)
• B．[3，+∞）
• C．[-3

  3

   ， 1]∪[3 ， 

  6

  ]
• D．(0 ， 3+3

  3

  ]

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（

3

x），再根据不等式f（x+t）≥3f（x）=f（

3

x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥

3

x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2  x≥0 -x2 x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（

3

x），
∵不等式ff（x+t）≥3f（x）=f（

3

x）在[t，t+3]恒成立，
∴x+t≥

3

x在[t，t+3]恒成立，即：t≥(

3

-1)x在[t，t+3]恒成立，
∴t≥(

3

-1)(t+3)，∴t≥3+3

3

故选A．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．