Question

已知函数f(x)=

3

sin2x-2sin(

π

2

+x)cos(π-x)．
（1）求函数f（x）的单调增区间．
（2）若f(

α

2

-

π

12

)=

3

2

，α为第二象限角，求cos(2α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解x的范围可得单调区间；
（2）由（1）可得f(

α

2

-

π

12

)=2sinα+1=

3

2

，可得sinα和cosα的值，由二倍角公式可得sin2α和cos2α，而cos(2α+

π

3

)=

1

2

cos2α-

3

2

sin2α，代入化简可得．

解答：解：（1）化简函数式可得f（x）=

3

sin2x-2cosx(-cosx)
=

3

sin2x+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）由（1）可得f(

α

2

-

π

12

)=2sinα+1=

3

2

，∴sinα=

1

4

，
∵α为第二象限角，∴cosα=-

1-sin2α

=-

15

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=-

15

8

，cos2α=cos²α-sin²α=

7

8

，
∴cos(2α+

π

3

)=

1

2

cos2α-

3

2

sin2α=

7

8

×

1

2

-(-

15

8

)×

3

2

=

7+3 5

16

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式和二倍角公式，属中档题．