Question

已知函数f（x）=2cos

x

2

（

3

cos

x

2

-sin

x

2

）．
（Ⅰ）设x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求边a和b的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=2cos(x+

π

6

)+

3

．x∈[-

π

2

，

π

2

]，即可求出f（x）的值域；
（Ⅱ）先求出C，再由三角形面积公式有ab=2

3

，由正弦定理得a²+b²=7．联立方程即可解得．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx
=2cos(x+

π

6

)+

3

．
x∈[-

π

2

，

π

2

]时，值域为[-1+

3

，2+

3

]．
（Ⅱ）因为C∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．
因为△ABC的面积为

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．     ②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用和正弦定理的综合应用，属于中档题．