Question

已知函数f（x）=log₃（ax²+2x+3），a∈R．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义，真数大于0，即可求出m的范围．
（2）f（x）的值域为R，也可以说y=ax²+2x+3取遍一切正数，问题得以解决．

解答： 解：（1）由f（x）的定义域为R，则ax²+2x+3＞0恒成立，…（1分）
若a=0时，2x+3＞0，x＞-

3

2

，不合题意； …（3分）
所以a≠0；
由

a＞0 △=22-4•a•3＜0

得：a＞

1

3

．…（6分）
（2）由f（x）的值域为R，所以{y|y=ax²+2x+3，x∈R}?（0，+∞），…（7分）
（也可以说y=ax²+2x+3取遍一切正数）
①若a=0时，y=2x+3可以取遍一切正数，符合题意，…（9分）
②若a≠0时，需

a＞0 △=22-4•a•3≥0

，即0＜a≤

1

3

； …（12分）
综上，实数a的取值范围为（0，

1

3

]．…（13分）

点评：本题主要考查了对数函数的定义和二次函数的性质，属于基础题．