Question

18．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得到曲线C'．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C'的极坐标方程；
（2）若点A在曲线C'上，点B（3，0），当点A在曲线C'上运动时，求AB中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数可求曲线C′的普通方程，即可求曲线C'的极坐标方程；
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$代入坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得C'的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$
∴曲线C'的普通方程为x²+y²=1，
∴曲线C'的极坐标方程ρ=1．…（5分）
（2）设P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中点为P
所以有：x₀=2x-3，y₀=2y
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程x₀²+y₀²=1得（2x-3）²+（2y）²=1
∴动点P的轨迹方程为（2x-3）²+（2y）²=1．…（10分）

点评 本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．