Question

（2011•焦作一模）已知S_n，T_n分别是首项为1的等差数列{a_n}和首项为1的等比数列{b_n}的前n项和，且满足4S₃=S₆，9T₃=8T₆，则

1

Snbn

的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  2

  3

• D．

  4

  9

Answer 1

分析：利用条件求出公差和公比，得到S_n，b_n的表达式，然后求

1

Snbn

的最小值．

解答：解：在等差数列中，由4S₃=S₆，得4(3a1+

3×2

2

d)=6a1+

6×5

2

d，解得d=2．
所以Sn=na1+

n(n-1)

2

d=n2．
在等比数列中，由9T₃=8T₆，得公比q≠1．
所以

9a1(1-q3)

1-q

=

8a1(1-q6)

1-q

，解得q=

1

2

，
所以bn=b1qn-1=(

1

2

)n-1，所以

1

Snbn

=

1

n2( 1 2 )n-1

=

2n-1

n2

．
要使

1

Snbn

的最小，则由

1 Snbn ≤ 1 Sn-1bn-1 1 Snbn ≤ 1 Sn+1bn+1

，即

2n-1 n2 ≤ 2n-2 (n-1)2 2n-1 n2 ≤ 2n (n+1)2

，
整理得

2(n-1)2≤n2 (n+1)2≤2n2

，所以

2 (n-1)≤n n+1≤ 2 n

，即

n≤ 2 2 -1 =2+ 2 n≥ 1 2 -1 = 2 +1

，
所以

2

+1≤n≤2+

2

，因为n∈N^•，所以n=3．
即当n=3时，

1

Snbn

的值最小，最小为

23-1

32

=

4

9

．
故选D．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列最小值的求法，考查学生的基本运算能力．若求一个数列{a_n}中的最小项，则满足

an≤an+1 an≤an-1

即可．