Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R），g（x）=2x²-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若|f（x）|≤|g（x）|对任意x∈R恒成立，求a，b；
（3）在（2）的条件下，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=2x²-4x-16＜0，知（x+2）（x-4）＜0，由此能求出不等式g（x）＜0的解集．
（2）由|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对x∈R恒成立，知当x=4，x=-2时成立，由此能求出a，b．
（3）由f（x）=x²-2x-8，知x²-4x+7≥m（x-1），从而得到对一切x＞2，均有不等式

x2-4x+7

x-1

≥m成立．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）g（x）=2x²-4x-16＜0，
∴（x+2）（x-4）＜0，
∴-2＜x＜4．
∴不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}．…（4分）
（2）∵|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|对x∈R恒成立，
∴当x=4，x=-2时成立，
∴

|16+4a+b|≤0 |4-2a+b|≤0

，
∴

16+4a+b=0 4-2a+b=0

，
∴

a=-2 b=-8

．…（8分）
（3）由（2）知，f（x）=x²-2x-8．
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15　（x＞2），
即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴对一切x＞2，均有不等式

x2-4x+7

x-1

≥m成立．…（10分）
而

x2-4x+7

x-1

=（x-1）+

4

x-1

-2
≥2

(x-1)• 4 (x-1)

-2=2（当x=3时等号成立）
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．…（12分）

点评：本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．