Question

20．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为4，P是双曲线右支上的一点，F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|PQ|=1，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF₁|-|PF₂|=2，结合|F₁F₂|=4，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线的焦距为4，
∴|F₁F₂|=4，∴c=2
∵|PQ|=1，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，
∴根据切线长定理可得AM=AN，F₁M=F₁Q，PN=PQ，
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴AM+F₁M=AN+PN+NF₂，
∴F₁M=PN+NF₂=PQ+PF₂
∴|PF₁|-|PF₂|=F₁Q+PQ-PF₂=F₁M+PQ-PF₂=PQ+PF₂+PQ-PF₂=2PQ=2，
即2a=2，则a=1，
∵a=1，c=2
∴双曲线的离心率是e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．