Question

【题目】已知椭圆C的离心率为 ，F1 ， F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为 ，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；
（Ⅲ）若|AB|=2，试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系．

Answer 1

【答案】解：（ I）设椭圆的方程为 ，由题可知 ， 解得 ，所以椭圆C的方程为 ．
（ II）令 ，解得 ，所以|MN|=1，
直线l与圆x2+y2=1相切可得 ，即k2+1=m2 ，
联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0
所以
将k2+1=m2代入可得 ．
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ．
所以，当 时，四边形MANB的面积具有最大值 ，直线l方程是 或 ．
（ III）
整理得 ，所以
设圆心到直线l的距离为d，则
设1+k2=t，t≥1，则k2=t﹣1，
所以
当 ，即 时，d2=1，
所以当 时，直线l与圆相切，当 ，时，直线l与圆相交
【解析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．（Ⅲ）由|AB|=2，得到m，k的关系，再用m，k表示圆心到直线l的距离d，求出d的取值范围即可．