Question

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

y2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0，若点S满足：

OS

= 

OP

 +

OQ

，证明：点S在椭圆C₂上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）焦点F（

p

2

，0）在圆O：x²+y²=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

，从而可求λ₁、λ₂的值，即可得证；
（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用

OS

= 

OP

 +

OQ

，确定S的坐标，利用

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0及P，Q在椭圆上，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦点F（

p

2

，0）在圆O：x²+y²=1上得：

p2

4

=1，∴p=2
∴抛物线C₁：y²=4x…（2分）
同理由椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=

2

∴椭圆C₂：x2+

y2

2

=1
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则N（0，-k）
直线与抛物线联立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∵

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

∴λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂
∴λ1=

x1

1-x1

，λ2=

x2

1-x2

∴λ₁+λ₂=

(x1+x2)-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=-1为定值；
（Ⅲ）证明：设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则P′（x₃，0），Q′（x₄，0），
∵

OS

= 

OP

 +

OQ

，∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0
∴2x₃x₄+y₃y₄=-1①
∵P，Q在椭圆上，∴

x

2 3

+

y 2 3

2

=1②，

x

2 4

+

y 2 4

2

=1③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+

(y3+y4)2

2

=1
∴点S在椭圆C₂上

点评：本题考查抛物线与椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，利用向量知识求解．