Question

已知抛物线C₁：y²=x+7，圆C₂：x²+y²=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C₁，C₂依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．

Answer 1

分析：（1）由

y2=x+7 x2+y2=5

得x²+x+2=0，由△=-7＜0，知抛物线与圆没有公共点．
（2）由题意知AD与BC的中点相同，设l为y=k（x-a），由

y2=x+7 y=k(x-a)

，得ky²-y-（7+a）k=0，则

△=1+4k2(7+a)＞0 y1+y2= 1 k

，x1+x2=

1

k2

+2a，由

x2+y2=5 y=k(x-a)

得（1+k²）x²-2ak²x+a²k²-5=0，由此可求出实数a的变化范围．

解答：解：（1）由

y2=x+7 x2+y2=5

得x²+x+2=0，
∵△=1-8=-7＜0，
∴抛物线与圆没有公共点．
（2）由题意知AD与BC的中点相同，设l为y=k（x-a），
由

y2=x+7 y=k(x-a)

，得ky²-y-（7+a）k=0，
则

△=1+4k2(7+a)＞0 y1+y2= 1 k

，
∴x1+x2=

1

k2

+2a，
由

x2+y2=5 y=k(x-a)

得（1+k²）x²-2ak²x+a²k²-5=0，
则

△=-4a2k2+20k2+20＞0 x1+x2= 2ak2 1+k2

，
∴

1

k2

+2a=

2ak2

1+k2

，∴k2=-

1

1+2a

，
代入上述△中得-10＜a＜-

1

2

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．