Question

已知抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁，以F₁，F₂为焦点，离心率为

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；
（2）用m表示P点的坐标；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，抛物线C₁方程可知，所以，椭圆C₂中c与a值可求，进而得出椭圆的标准方程及其右准线的方程．
（2）P点为抛物线与椭圆在第一象限的焦点，所以只要根据抛物线方程求出椭圆方程，再联立，即可得出P点坐标．
（3）先假设存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，由前一问可分别求出△PF₁F₂的三边长，让三边成公差为1得等差数列，求m的值，若能求出，则存在，若不能求出，则不存在．

解答：解（1）∵c₁：y²=4mx的右焦点F₂（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m．
椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1当m=1时，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，右准线方程为：x=4
（2）由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)
（3）假设存在满足条件的实数m，由（Ⅱ）知P(

2

3

m，

2 6

3

m)
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的边长分别是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在实数m使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

点评：本题考查椭圆的几何性质，以及是否存在问题，做题时找准椭圆与抛物线的关系，认真解答．