Question

已知函数f（x）=x²-mln+mx（m∈R）．
（1）当m=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求实数m取值范围．

Answer 1

解：（1）当m=-1时，f（x）=x²+ln-x，定义域为（，+∞），f′（x）=x+=，
当＜x＜0或x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]；（4分）
（2）f（x）=x²-mln+mx，定义域为（，+∞），f′（x）=，（6分）
当m≥时，0，当x≥0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）是增函数，∴当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，（8分）
当m＜时，-（m+）＞0，当0＜x＜-（m+）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，-（m+）]上是减函数，
∴当0≤x≤-（m+）时，f（x）≤f（0）=0，不适合，（11分）
∴满足条件的m的取值范围为[，+∞）．（12分）
分析：（1）确定函数的定义域为（，+∞），求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）确定函数的定义域为（，+∞），求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，从而确定m的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中档题．