Question

（本小题满分13分）设函数f（x）=x3–3ax2+3bx的图象与直线12x+y–1=0相切于点（1，–11）．

（1）求a，b的值；

（2）求函数f （x）的单调区间．

Answer 1

（1）a=1，b=-3；（2）f（x）的单调递增区间是 （-∞,–1），（3,+∞）;单调减区间是（–1,3）.

【解析】

试题分析：（1）求导得=3–6ax+3b. 3分

由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，–11），

所以f（1）=–11，=–12，即 5分

解得a=1，b=-3. 7分

（2）由a=1，b=-3得

=3–6ax+3b=3（–2x–3）=3（x+1）（x–3）. 9分

由＞0,解得x＜–1或x＞3;又令＜0,解得–1＜x＜3. 11分

所以f（x）的单调递增区间是 （-∞,–1），（3,+∞）;单调减区间是（–1,3）. 13分

考点：本题考查利用导数研究曲线的切线，利用导数研究函数的单调性