【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求
的值;
(2)当时,求证:
;
(3)设函数,其中
为实常数,试讨论函数
的零点个数,并证明你的结论.
【答案】(1)(2)见证明;(3)见解析
【解析】
(1)根据题意求出函数的导函数,表示出切点的纵坐标,根据导数的几何意义列出方程,由此即可求出切点的横坐标;
(2)设,求出函数的导函数
,令
,列出表格,观察即可判断出函数的最小值,从而证明
;
(3)根据题意,构造出函数
,求出函数的导函数
,分情况讨论b的取值范围,当b≤0,根据
与0的关系判断出
的零点个数;其次当b>0时,结合x的范围判断出函数的单调性,这里要注意当x>2时,根据b的范围即
、
和
来判断
的零点,由此即可知
的零点个数.
(1). 因为切线
过原点
,
所以 ,解得:
.
(2)设,则
.
令,解得
.
在
上变化时,
的变化情况如下表
x | (0,2) | 2 |
|
- | 0 | + | |
|
|
|
所以 当 时,
取得最小值
.
所以 当时,
,即
.
(3)等价于
,等价于
.注意
.
令,所以
.
(I)当时,
,所以
无零点,即
在定义域内无零点.
(II)当时,(i)当
时,
,
单调递增;
因为在
上单调递增,而
,
又,所以
.
又因为,其中
,
取,
表示
的整数部分.所以
,
,由此
.
由零点存在定理知,在
上存在唯一零点.
(ii)当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以当时,
有极小值也是最小值,
.
①当,即
时,
在
上不存在零点;
②当,即
时,
在
上存在唯一零点2;
③当,即
时,由
有
,
而,所以
在
上存在唯一零点;
又因为,
.
令,其中
,
,
,
,
所以,因此
在
上单调递增,从而
,
所以在
上单调递增,因此
,
故在
上单调递增,所以
.
由上得,由零点存在定理知,
在
上存在唯一零点,即在
上存在唯一零点.
综上所述:当时,函数
的零点个数为0;
当时,函数
的零点个数为1;
当时,函数
的零点个数为2;
当时,函数
的零点个数为3.
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【题目】(2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考)已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图象与直线
没有交点,求
的取值范围;
(3)若函数,是否存在实数
使得
的最小值为0,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
经过点
,其倾斜角为
,以原点
为极点,以
轴为非负半轴为极轴,与坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为
.
(1)若直线与曲线
有公共点,求倾斜角
的取值范围;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围.
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【题目】某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
(1)如果不超过200元,则不给予优惠;
(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;
(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.
某人单独购买A,B商品分别付款168元和423元,假设他一次性购买A,B两件商品,则应付款是
A. 413.7元 B. 513.7元 C. 546.6元 D. 548.7元
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【题目】若函数在区间
上,
,
,
,
,
,
均可为一个三角形的三边长,则称函数
为“三角形函数”.已知函数
在区间
上是“三角形函数”,则实数
的取值范围为( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知幂函数f(x)=x (m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若该函数还经过点(2, ),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
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