Question

4．已知曲线f（x）=e^x-4tx+1上存在与直线y=$\frac{1}{3}$x垂直的切线，则实数t的取值范围是（　　）

• A． t＞$\frac{3}{4}$
• B． t≤$\frac{3}{4}$
• C． t＞-$\frac{1}{12}$
• D． t≤-$\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 设切点为（m，n），求出函数的导数，可得切线的斜率，由题意可得e^m-4t=-3有解，即e^m=4t-3，运用指数函数的值域，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设切点为（m，n），
由f（x）=e^x-4tx+1的导数为f′（x）=e^x-4t，
可得切线的斜率为k=e^m-4t，
由题意可得e^m-4t=-3有解，
即e^m=4t-3，由e^m＞0，可得4t-3＞0，
解得t＞$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查存在性问题的解法，注意运用指数函数的值域，属于中档题．