Question

14．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在4月份的30天都记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，从中随机挑选了5天进行分析研究，得到如表格：

日期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
温差x/℃	10	11	13	12	8
发芽数y/颗	23	25	30	26	16

（1）请根据4月7日、15日和21日的三天数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）若某天种子发芽率不低于$\frac{1}{4}$，则称该天种子发芽情况为“长势喜人”．根据表中5天的数据，以频率为概率，估计4月份的整体种子发芽情况．若在4月份中随机挑选3天，记“长势喜人”的天数为X，求X的分布列及数学期望．（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）求出长势喜人的频率当做概率计算X分别为0，1，2，3的概率，得出X的分布列，计算数学期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{11+13+12}{3}=12$，$\overline{y}$=$\frac{25+30+26}{3}$=27，$\sum_{i=1}^{3}{x}_{i}{y}_{i}$=11×25+13×30+12×26=977，$\sum_{i=1}^{3}{{x}_{i}}^{2}$=11²+13²+12²=434．
∴$\widehat{b}$=$\frac{977-3×12×27}{434-3×1{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，$\widehat{a}$=27-$\frac{5}{2}$×12=-3，
所以y关于x的线性回归方程为$\overline{y}$=$\frac{5}{2}$x-3．
（2）依题意得，选出的5天中，“长势喜人”的天数为3天．所以某一天为“长势喜人”的概率为$P（长势喜人）=\frac{3}{5}$，
X的所有可能取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^0}=\frac{8}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴EX=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，随机变量的分布列和数学期望计算，属于中档题．