Question

6．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，-1）并且与曲线y=f（x）相切，则直线l被圆（x-2）²+y²=4截得的弦长为$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义求出直线l的方程，计算圆心到直线的距离和圆的半径，利用垂径定理得出弦长．

解答 解：设直线l的方程为y=kx-1，直线l与f（x）的图象切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{0}-1={y}_{0}}\\{{x}_{0}ln{x}_{0}={y}_{0}}\\{ln{x}_{0}+1=k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=0}\\{k=1}\end{array}\right.$．
∴直线l的方程为：y=x-1，即x-y-1=0．
圆（x-2）²+y²=4的圆心为（2，0），半径r=2．
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l被圆（x-2）²+y²=4截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{14}$．
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，直线与圆的位置关系，距离公式，属于中档题．