Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）+1与椭圆E交于不同两点M，N，线段MN的中点为P，O为坐标原点，且直线OP的斜率存在，求直线l与直线PO的斜率之积．

Answer 1

分析 （I）由题意知$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由此能求出椭圆E的方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）把y=k（x-1）+1代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（1+2k²）x²-（4k²-4k）x+2k²-4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l与直线PO的斜率之积．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）由题意知$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又a²=b²+c²，故$a=\sqrt{2}$
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
把y=k（x-1）+1代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
整理得（1+2k²）x²-（4k²-4k）x+2k²-4k=0，
由已知有△＞0，故${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}-4k}}{{1+2{k^2}}}$，…（8分）
y₁+y₂=k（x₁-1）+1+k（x₂-1）+1=k（x₁+x₂-2）+2=$\frac{-2（k-1）}{{1+2{k^2}}}$，…（9分）
于是P$（\frac{{2{k^2}-2k}}{{1+2{k^2}}}，\frac{-k+1}{{1+2{k^2}}}）$，直线PO的斜率为$-\frac{1}{2k}$，…（11分）
又直线l的斜率为k，∴直线l与直线PO的斜率之积为$-\frac{1}{2}$． …（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与直线的斜率之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质的合理运用．