Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≤0}\\{lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+a），x＞0}\end{array}\right.$，其中a＞0，当a=2且f（x₀）=1时，x₀=0；若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析 当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，分类讨论满足f（x₀）=1的x₀值，可得答案；函数f（x）的值域为R，则当x=0时，函数y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2．

解答 解：当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，
若x₀≤0，则f（x₀）=1+x₀=1，
解得：x₀=0，
若x₀＞0，则f（x₀）=${log}_{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2）$=1，
即${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2=2$，
解得：x₀=0（舍去），或x₀=-2（舍去），
综上，当a=2且f（x₀）=1时，x₀=0；
当x≤0时，则f（x）=1+x≤1，
当x＞0时，则f（x）=${log}_{2}（{{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a）$，
若函数f（x）的值域为R，
则当x=0时，函数y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2，
即实数a的取值范围是（0，2]
故答案为：0，（0，2]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．