Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，c=2，a²=4b-4，则a=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意和正弦、余弦定理列出方程并化简，再结合条件中的方程求出a、b，利用大边对大角求出a的值．

解答 解：在△ABC中，∵A=2C，c=2，∴由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
则$\frac{a}{2sinCcosC}=\frac{2}{sinC}$，即a=4cosC，
由余弦定理得，a=4×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{ab}$，
化简得a²（b-2）=2（b²-4），①
又a²=4b-4，②，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∵A=2C，c=2，∴a＞c=2，∴a=$2\sqrt{3}$，
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，注意边角关系的应用，于中档题．