Question

12．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1（c＞0）的离心率为e，右焦点为（c，0）．
（1）若椭圆M的焦点为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e，P为M上一点，求|PF₁|+|PF₂|的值．
（2）如图所示，A是椭圆M上一点，且A在第二象限，A与B关于原点对称，C在x轴上，且AC与x轴垂直，若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-4，△ABC的面积为4，直线BC与M交于另一点D，求线段BD的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程可得a=$\sqrt{2}$c，b=c，求得离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e，可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，再由椭圆的定义，即可得到所求值；
（2）设A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），求得向量CA，CB的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解得y₁，再由三角形的面积公式，求得x₁，可得A的坐标，代入椭圆方程，进而得到椭圆方程，再由直线BC的方程联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到所求点的坐标．

解答 解：（1）椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1的a=$\sqrt{2}$c，b=c，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e=2$\sqrt{6}$，即2c=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，
由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=4$\sqrt{3}$；
（2）设A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
$\overrightarrow{CA}$=（0，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（-2x₁，-y₁），$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-y₁²=-4，
可得y₁=2，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$|y₁|•|2x₁|=4，解得x₁=-2，即A（-2，2），
由A在M上，即有$\frac{4}{2{c}^{2}}$+$\frac{4}{{c}^{2}}$=1，解得c=$\sqrt{6}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
B（2，-2），C（-2，0），
BC：y=-$\frac{1}{2}$（x+2），与M方程联立，可得3x²+4x-20=0，
即有x_B+x_D=-$\frac{4}{3}$，设中点为N（x，y），
则x=$\frac{{x}_{B}+{x}_{D}}{2}$=-$\frac{2}{3}$，y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2}{3}$+2）=-$\frac{2}{3}$，
即有N（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．