Question

7．如图，足球门框的长AB为2dw（1dw=3.66m），设足球为一点P，足球与A，B连线所成的角为α（0°＜α＜90°）．
（1）若队员射门训练时，射门角度α=30°，求足球所在弧线的方程；
（2）已知点D到直线AB的距离为3dw，到直线AB的垂直平分线的距离为2dw，若教练员要求队员，当足球运至距离点D为$\sqrt{2}$dw处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？

Answer 1

分析 （1）以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，建立如图所示的坐标系，求出过AB的圆的方程，即可求足球所在弧线的方程；
（2）由题意，设过AB的圆的圆心为（a，0），半径为$\sqrt{{a}^{2}+1}$，该圆与以D（3，2）为圆心，$\sqrt{2}$的圆外切时，射门角度α最大．

解答 解：（1）以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵AB=2，α=30°，∴2R=$\frac{AB}{sin30°}$=4，∴R=2，
∴圆心坐标为（-$\sqrt{3}$，0），
∴足球所在弧线的方程为（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4（0＜x≤2-$\sqrt{3}$）；
（2）由题意，设过AB的圆的圆心为（a，0），半径为$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
该圆与以D（3，2）为圆心，$\sqrt{2}$的圆外切时，射门角度α最大，则$\sqrt{（a-3）^{2}+4}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴半径为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2}{sinα}$=2$\sqrt{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴射门角度α最大可为135°．

点评 本题考查圆的方程，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．