Question

18．如图，已知F（c，0）是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点；圆F：（x-c）²+y²=a²与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设圆F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与圆F的位置关系；
（3）设直线BF与椭圆C交于另一点G，直线BD与椭圆C交于另一点M，若△BMG的面积为$\frac{32\sqrt{3}}{13}$，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由于圆F过椭圆C的左焦点，把（-c，0）代入圆F的方程，得4c²=a²，即可得到椭圆的离心率；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中，令x=0得y²=a²-c²=b²，可知点B为椭圆的上顶点，进而得到B（0，$\sqrt{3}$c），在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（-3c，0），利用斜率计算公式可得k_AB，k_FD．只要判定k_AB•k_FD=-1，即可得到直线AB与⊙F相切；
（3）椭圆的方程可化为3x²+4y²=12c²．由（2）求得BD、BF所在直线方程，联立BD方程与椭圆方程求出M的坐标，再由点到直线的距离公式求出M到BF的距离，代入三角形面积公式求得c，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）∵圆F过椭圆C的左焦点，把（-c，0）代入圆F的方程，得4c²=a²，
∴2c=a．
故椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）在方程（x-c）²+y²=a²中，令x=0得y²=a²-c²=b²，可知点B为椭圆的上顶点，
由（1）知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}c$，
∴B（0，$\sqrt{3}$c），
在圆F的方程中，令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（-3c，0），
于是可得直线AB的斜率${k}_{AB}=\frac{\sqrt{3}c}{3c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
而直线FB的斜率${k}_{FB}=\frac{\sqrt{3}c}{-c}=-\sqrt{3}$，
∵k_AB•k_FB=-1，
∴直线AB与⊙F相切；
（3）椭圆的方程可化为3x²+4y²=12c²．
由（2）知直线BD的方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}c$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}c}\end{array}\right.$，解得点M的坐标为（-$\frac{24}{13}c$，$\frac{5\sqrt{3}c}{13}$）．
而FB所在直线方程为y=$-\sqrt{3}x+b$，
M到直线FB的距离为d=$\frac{|-\frac{24\sqrt{3}}{13}c+\frac{5\sqrt{3}}{13}c-b|}{2}=\frac{\frac{19\sqrt{3}}{13}c+b}{2}$=$\frac{16\sqrt{3}}{13}c$，
∴${S}_{△BMG}=\frac{1}{2}•|BG|•d=\frac{1}{2}•4c•\frac{16\sqrt{3}}{13}=\frac{32\sqrt{3}}{13}$，解得c=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题．考查弦长公式、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．