Question

3．设P为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁，F₂为椭圆的焦点，|PF₁|+|PF₂|=4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆交于P、Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列；
（Ⅲ）求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和等比数列的中项的性质，化简整理可得k，m的关系；
（III）设点O到直线PQ的距离为d，运用点到直线的距离公式，以及弦长公式，三角形的面积公式，化简整理点到m的式子，再由基本不等式即可得到最大值，检验，进而得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，可得a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消y，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
因为直线与椭圆交于不同的两点，
所以△=64k²m²-16（m²-1）（4k²+1）＞0，
解得4k²+1＞m²，
由韦达定理得，${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由题意知，k²=k_OP•k_OQ，
即${k^2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}+\frac{{km（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{m^2}{{{x_1}{x_2}}}$，
即为$\frac{{km（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{m^2}{{{x_1}{x_2}}}=0$，
即有-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
即${k^2}=\frac{1}{4}$，即k=±$\frac{1}{2}$，0＜m²＜2；
（III）设点O到直线PQ的距离为d，
则$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，$|{PQ}|=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-y_2^{\;}}）}^2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}$$\frac{{\sqrt{△}}}{{1+4{k^2}}}$
=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由（Ⅱ）可得1+4k²=2，
所以${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{PQ}|d=|m|\sqrt{2-{m^2}}$，
则${S^2}_{△OPQ}={m^2}（{2-{m^2}}）$≤$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=1，
由m²=1时，k=0，仅有一个交点，则最大值1取不到．
则△OPQ面积的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及等比数列的中项的性质和直线的斜率公式，同时考查三角形的面积的范围，注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．