Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（2＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，过点B的直线与椭圆交于另一点D，与直线y=-2交于点M．
（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，求三角形AMD的面积S的值；
（Ⅱ）若直线AM、AD的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，得到A，B，D的坐标，写出直线MD的方程，求得M坐标由S=S_△ABD+S_△ABM得答案；
（Ⅱ）设直线MD的方程为y=kx-b（k≠0），分别联立MD所在直线方程与椭圆方程和y=-2，求得M，D的坐标，由直线AM、AD的斜率之积为-$\frac{3}{4}$得到b值，则椭圆C的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）当b=1且点D为椭圆的右顶点时，A（0，1），B（0，-1），D（2，0），
∴直线MD的方程为$y=\frac{1}{2}x-1$，可得M（-2，-2），﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
∴S=S_△ABD+S_△ABM=$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×2=4$．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（Ⅱ）A（0，b），B（0，-b），设直线MD的方程为y=kx-b（k≠0），则：
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=kx-b\end{array}\right.$，解得$D（\frac{8kb}{{4{k^2}+{b^2}}}，\frac{{4{k^2}b-{b^3}}}{{4{k^2}+{b^2}}}）$，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（10分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-2\\ y=kx-b\end{array}\right.$，解得 $M（\frac{b-2}{k}，-2）$，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（11分）
∴${k_{AM}}•{k_{AD}}=-\frac{{{b^2}（2+b）}}{4（2-b）}=-\frac{3}{4}$．
∴b³+2b²+3b-6=（b-1）（b²+3b+6）=0，解得b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（13分）

点评 不同考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．