Question

20．已知函数f（x）=e^x-e^-x（x∈R，e=2.71828…）
（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）t为实数，且f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切实数x都成立，求t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的定义域，计算f（-x）与f（x）的关系，即可得证；
（Ⅱ）f（x-t）+f（x²-t²）≥0，即为f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x），判断f（x）在R上递增，去掉f，运用参数分离，求得右边二次函数的最小值，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）证明：f（x）的定义域为R，
f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
即有函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）f（x-t）+f（x²-t²）≥0，即为
f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x），
由f（x）=e^x-e^-x在R上为增函数，
可得x²-t²≥t-x，即有t²+t≤x+x²，
由x+x²=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，可得t²+t≤-$\frac{1}{4}$，
即有（t+$\frac{1}{2}$）²≤0，但（t+$\frac{1}{2}$）²≥0，
则t=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用：解不等式，考查恒成立问题的解法，注意运用函数的性质和参数分离，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．