Question

8．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x^2}$-x，其中（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，
①求实数a的取值范围；   
②证明f（x₁）＜0．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）①求得f（x）的导数，可得f′（x）=lnx-ax=0有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a＞0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；
②由①知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$，f（x₁）是极小值，f（x₂）是极大值，由f′（x₁）=0，求得f（x₁），运用二次函数的单调性，可得f（x₁）＜f（0）=0．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=xlnx-x²-x，f′（x）=lnx-2x，
可得f（1）=-2，f′（1）=-2，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2=-2（x-1），
即为y=-2x；       
（2）①f′（x）=lnx-ax，函数y=f（x）有两个极值点x₁、x₂，
即f′（x）=lnx-ax=0有两个不同的实根，
当a≤0时，f′（x）单调递增，f′（x）=0不可能有两个不同的实根；
当a＞0时，设h（x）=lnx-ax，h′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
若0＜x＜$\frac{1}{a}$时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
若x＞$\frac{1}{a}$时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
可得h（x）的极大值h（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$；          
②证明：由①知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$，f（x₁）是极小值，f（x₂）是极大值，
由f′（x）=lnx-ax=0，可得lnx₁-ax₁=0，
可得f（x₁）=x₁lnx₁-$\frac{a}{2}$x₁²-x₁=$\frac{a}{2}$x₁²-x₁=$\frac{a}{2}$（x₁-$\frac{1}{a}$）²-$\frac{1}{2a}$，
可得f（x₁）在（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，即有f（x₁）＜f（0）=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思想方法，以及函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．