Question

19．如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=10$\sqrt{3}$km，则OA²+OB²=200．

Answer 1

分析 根据OC=BO，分别在△OAC与△OAB中利用余弦定理，可得300=OA²+OB²+OA•OB且100=OA²+OB²-OA•OB，两式联解即可得出OA²+OB²．

解答 解：在△OAC中，∠AOC=120°，AC=10$\sqrt{3}$，
根据余弦定理，可得OA²+OC²-2OA•OCcos120°=AC²=300，
又∵OC=BO，∴300=OA²+OB²-2OA•OBcos120°，即300=OA²+OB²+OA•OB…①
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，
∴由余弦定理，得OA²+OB²-2OA•OBcos60°=100，即100=OA²+OB²-OA•OB …②，
①+②，可得OA²+OB²=200，
故答案为：200．

点评 本题给出实际应用问题，着重考查了余弦定理，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．