Question

16．数列{a_n}的前n项和S_n满足3S_n=4ⁿ⁺¹-4，则数列{（3n-2）a_n}的前n项和为（n-1）4ⁿ⁺¹+4．

Answer 1

分析 通过3S_n=4ⁿ⁺¹-4与3S_n-1=4ⁿ-4（n-2）作差，进而计算可知a_n=4ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵3S_n=4ⁿ⁺¹-4，
∴3S_n-1=4ⁿ-4（n-2）（n≥2），
两式相减得：3a_n=3×4ⁿ，即a_n=4ⁿ（n≥2），
又∵3S₁=4¹⁺¹-4，即a₁=4满足上式，
∴a_n=4ⁿ，
记数列{（3n-2）a_n}的前n项和为T_n，则：
T_n=1×4+4×4²+…+（3n-2）×4ⁿ，
4T_n=1×4²+4×4³+…+（3n-5）×4ⁿ+（3n-2）×4ⁿ⁺¹，
两式相减得：-3T_n=4+3（4²+4³+…+4ⁿ）-（3n-2）×4ⁿ⁺¹
=4+3×$\frac{{4}^{2}（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-2）×4ⁿ⁺¹
=4+4ⁿ⁺¹-16-（3n-2）×4ⁿ⁺¹
=-（3n-3）×4ⁿ⁺¹-12，
∴T_n=4+（n-1）×4ⁿ⁺¹，
故答案为：4+（n-1）×4ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．