Question

2．已知A（2，0），P是圆C：x²+y²+4x-32=0上的动点，线段AP的垂直平分线与直线PC的交点为M，则当P运动时．点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 由已知，得|MA|=|MP|，所以|MA|+||MC|=|MP|+|MC|=|PC|=6＞|AC|，根据椭圆的定义，点M的轨迹是C，A为焦点，以6为长轴长的椭圆，求a、b，可得点M的轨迹方程．

解答 解：由已知C（-2，0），圆的半径为r=6，
线段AP的垂直平分线与直线PC的交点为M得|MA|=|MP|，
所以|MA|+||MC|=|MP|+|MC|=|PC|=6＞|AC|，
根据椭圆的定义，点M的轨迹是C，A为焦点，以6为长轴长的椭圆，
所以2a=6，2c=4，
所以a=3，c=2，
所以b=$\sqrt{5}$，
所以点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查了轨迹方程的问题，解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．