Question

13．点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线x-y+2=0的最短距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x+2的距离即为所求．

解答 解：点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x+2平行时，
点P到直线y=x+2的距离最小．
直线y=x+2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的导数y′=2x-$\frac{1}{x}$=1，
解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离等于$\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故点P到直线y=x+2的最小距离为$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想．