Question

1．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（Ⅰ）证明：CM⊥SB；
（Ⅱ）设三棱锥C-SBM与四棱锥S-ABCD的体积分别为V₁与V，求$\frac{{V}_{1}}{V}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：CM⊥平面SBM，即可证明CM⊥SB；
（Ⅱ）三棱锥C-SBM与三棱锥S-CBM的体积相等，由（Ⅰ） 知SM⊥平面ABCD，得$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\frac{1}{3}×SM×\frac{1}{2}×BM×CM}{\frac{1}{3}SM×\frac{1}{2}（AB+CD）×AD}$，即可求$\frac{{V}_{1}}{V}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SM?平面SAD，SM⊥AD，
∴SM⊥平面ABCD，（1分）
∵CM?平面ABCD，∴SM⊥CM（2分）
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，
∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，
∴∠AMB=∠CMF=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM        （4分）
∵SM?平面SBM，BM?平面SBM，SM∩BM=M，∴CM⊥平面SBM，
又SB?平面SBM，所以CM⊥SB（6分）
（Ⅱ）解：三棱锥C-SBM与三棱锥S-CBM的体积相等，
由（Ⅰ） 知SM⊥平面ABCD，
得$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\frac{1}{3}×SM×\frac{1}{2}×BM×CM}{\frac{1}{3}SM×\frac{1}{2}（AB+CD）×AD}$，（9分）
设AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC得CD=3a，BM=$\sqrt{2}$a，CM=3$\sqrt{2}$a，AD=4a
从而$\frac{{V}_{1}}{V}$=$\frac{\sqrt{2}a×3\sqrt{2}a}{（a+3a）×4a}$=$\frac{3}{8}$          （12分）

点评 本题考查直线和平面垂直、棱锥体积的计算等基础知识，意在考察学生空间向量能力、推理论证能力和基本的运算能力．