Question

若函数f（x）=

3(a-1)x2+4bx+(a-1)-1

的定义域为R，则a+b的取值范围是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知，即（a-1）x²+4bx+（a-1）≥0对于任意的实数都成立．，根据二次函数的图象列出a，b满足的关系式，利用线性规划的知识解决．

解答：解：由已知，3(a-1)x2+4bx+(a-1)-1≥0对于任意的实数都成立．即（a-1）x²+4bx+（a-1）≥0对于任意的实数都成立．
当a=1时，4bx≥0不恒成立．
∴

a-1＞0     △=16b2-4(a-1)2

即

a-1＞0     1-a≤2b≤a-1

  不等式组表示的可行域为：
设z=a+b．变形为b=-a+z，当直线l：b=-a+z经过A（1，0）时，z取得最小值1，即a+b的最小值是1，无最大值．
故答案为：[1，+∞）

点评：本题是二次函数恒成立问题，题目中有两个互相制约的变量，采用了线性规划的知识解决，因此本题考查转化、计算、数形结合的思想和能力．