Question

若函数f（x）=3-log_ax，x∈[a，2a]的最小值不小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性求得函数的最小值，再由函数的最小值大于或等于1，求得得a的范围．再把以上实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：①当a＞1时，函数f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是减函数，
由题意可得函数的最小值f（2a） 3-log_a（2a）≥1，即 log_a（2a）≤2，0＜2a≤a²，
解得 a≥2．
②当0＜a＜1时，函数f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是增函数，
由题意可得 函数的最小值f（a）=3-log_aa≥1，即 log_aa≤2，显然成立．
综上可得，实数a的取值范围为{a|a≥2，或0＜a＜1}．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．