Question

11．已知⊙M：（x+1）²+y²=$\frac{49}{4}$的圆心为M，⊙N：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$=12，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，由此能求出动圆圆心P的轨迹方程．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=6+\frac{9}{2}≠12$．当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则$\left|{\left.{PM}\right|}\right.=\frac{7}{2}-r，\left|{\left.{PN}\right|}\right.=r+\frac{1}{2}$，
两式相加，得|PM|+|PN|=4＞|MN|，
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，
∴动圆圆心P的轨迹方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
则$C（{1，\frac{3}{2}}），D（{1，-\frac{3}{2}}），A（{-2，0}），B（{2，0}）$，
则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=6+\frac{9}{2}≠12$．
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$…（6分）
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}=（{x_1}+2，{y_1}）•（2-{x_2}，-{y_2}）+（{x_2}+2，{y_2}）（2-{x_1}，-{y_1}）$
=$8-2{x_1}{x_2}-2{y_1}{y_2}=8-2{x_1}{x_2}-2{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$
=$8-（2+2{k^2}）{x_1}{x_2}-2{k^2}（{x_1}+{x_2}）-2{k^2}$=$8+\frac{{10{k^2}+24}}{{3+4{k^2}}}$…（10分）
由已知，得$8+\frac{{10{k^2}+24}}{{3+4{k^2}}}=12$，解得$k=±\sqrt{2}$．
故直线l的方程为$y=±\sqrt{2}（x-1）$．…（12分）

点评 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积椭圆性质的合理运用．