Question

6．已知函数f（x）=ax³-5x²-bx，a，b∈R，x=3是f（x）的极值点，且f（1）=-1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求f（x）在[2，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（3），求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-10x-b，
f′（3）=0，即27a-30-b=0，
又f（1）=-1，
故a=1，b=-3；
（2）由（1）f（x）=x³-5x²+3x，
f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）＞0，解得：3＜x＜4，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3，
故f（x）在（2，3）递减，在（3，4）递增，
故f（x）_min=f（3）=-9，f（x）_max=f（4）=-4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．