Question

15．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若$AC=\sqrt{2}AP，E，F$分别是PQ，CQ的中点．求证：
（1）CE∥平面PBD；
（2）平面FBD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连接PO，证明四边形POCE是平行四边形，可得CE∥PO，即可证明CE∥平面PBD；
（2）证明PO⊥平面FBD，即可证明平面FBD⊥平面PBD．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则
∵O是AC的中点，E是PQ的中点，
∴PE=OC，PE∥OC，
∴四边形POCE是平行四边形，
∴CE∥PO，
∵CE?平面PBD，PO?平面PBD，
∴CE∥平面PBD；
（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACQP，
∵PO?平面ACQP，∴BD⊥PO，
连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，
∵F是CQ中点，O是AC的中点，
∴OF∥AQ，
∴OF⊥PO，
∵BD∩OF=O，
∴PO⊥平面FBD，
∵PO?平面PBD，
∴平面FBD⊥平面PBD．

点评 本题是中档题，考查直线与平面平行、垂直，平面与平面垂直的证明的方法，考查空间想象能力，基本知识的灵活运用能力．