Question

4．若函数$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜\frac{π}{2}）$为偶函数，则（　　）

• A． f（x）的最小正周期为π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上为增函数
• B． f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在$（0，\frac{π}{4}）$上为增函数
• C． f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在$（0，\frac{π}{4}）$上为减函数
• D． f（x）的最小正周期为π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上为减函数

Answer 1

分析 由两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的奇偶性和诱导公式列出方程，结合条件求出φ的值，由三角函数的周期、余弦函数的单调性得到答案．

解答 解：由题意知，$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+φ）+cos（2x+φ）$
=$2[\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2x+φ）+\frac{1}{2}cos（2x+φ）]$
=$2sin（2x+φ+\frac{π}{6}）$，
∵f（x）是偶函数，∴$φ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
则$φ=\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
则$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$，
∴f（x）的最小正周期为π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上为减函数，
故选：D．

点评 本题考查两角和的正弦公式、诱导公式，三角函数的奇偶性和周期公式，以及余弦函数的单调性，考查化简、变形能力．