Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角的余弦值是

30

10

．

Answer 1

分析：以D为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得出A₁、E、G、F各点的坐标，从而得到

A1E

=（-2，0，-1），

GF

=（2，-1，-1），再利用空间向量的夹角公式算出

A1E

、

GF

夹角的余弦之值，取绝对值即可得到A₁E与GF所成角的余弦值．

解答：解：分别以DA、DC、DD₁、为x、y、z轴建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则
A₁（2，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（2，1，0）
∴

A1E

=（-2，0，-1），

GF

=（2，-1，-1）
设

A1E

、

GF

的夹角为θ，则
cosθ=

| A1E • GF |

| A1E |•| GF |

=

|-2×(2)+0×(-1)+(-1)×(-1)|

5 × 6

=

30

10

即异面直线A₁E与GF所成角的余弦值是

30

10

故答案为：

30

10

点评：本题在正方体中求两条异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质和利用空间坐标系求异面直线所成角等知识点，属于基础题．