Question

【题目】四棱柱的底面是菱形,平面,点是侧棱上的点

（1）证明:平面;

（2）若是的中点,求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）要证平面，即证垂直于平面内两条相交直线，题中已知，故只要证垂直于平面内另一条与相交的直线即可，由题意可证出，从而得证本题；

（2）要求四棱锥的体积，即求出点到平面的距离和四边形的面积，点到平面的距离即为菱形的高，四边形是长方形，利用勾股定理可得出的长，从而可得出体积。

（1）证明:连接.

由平面,

得.

又底面是菱形,

所以.

因为是平面内的相交直线,

所以平面。

又平面,

所以

又,

所以平面

（2）解:连接.

当是中点时,设,则.

在中，,

故

，

又,

所以,

即

即。

故侧面的面积为，

点到平面的距离就是底面菱形的高,

即，

所以四棱锥的体积为。