Question

11．已知数列{a_n}满足a₃=33，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明：数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）依次令n=3和n=2，利用递推思想能求出a₁，a₂．
（2）由已知得${a}_{n}-1=2（{a}_{n-1}-1）+{2}^{n}$，n≥2，由此能证明数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为首项是2，公差为1的等差数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₃=33，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴33=2a₂+2³-1，解得a₂=13．
13=2a₁+2²-1，解得a₁=5．
（2）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴${a}_{n}-1=2（{a}_{n-1}-1）+{2}^{n}$，n≥2
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，n≥2
∵$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=$\frac{5-1}{2}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为首项是2，公差为1的等差数列．
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴${a}_{n}-1=（n+1）•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}+1$．

点评 本题考查数列的前两项的求法，考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．