Question

1．已知x=$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$-2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$），n∈N^*，求（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ的值．

Answer 1

分析 由已知条件利用完全平方和公式和完全平方差公式求出$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$+2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$），由此能求出（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ的值．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$-2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$），n∈N^*，
∴$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}（201{5}^{\frac{2}{n}}-2+201{5-}^{\frac{2}{n}}）}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（201{5}^{\frac{2}{n}}+2+201{5}^{-\frac{2}{n}}）}$=$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$+2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$），
（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ=[$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$-2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$）+$\frac{1}{2}$（2015${\;}^{\frac{1}{n}}$+2015${\;}^{-\frac{1}{n}}$）]ⁿ=（$201{5}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ=2015．

点评 本题考查有理数分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂运算法则的合理运用．