Question

11．在平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，E，F分别是
AD₁，BD的中点．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{{D}_{1}B}$，$\overrightarrow{EF}$；
（2）若$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，求实数x，y，z的值．

Answer 1

分析 （1）如图，$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=$\overrightarrow{{D}_{1}D}$+$\overrightarrow{DB}$=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{D}_{1}A}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），进而得到答案；
（2）$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{D}_{1}D}$+$\overrightarrow{{D}_{1}B}$）=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}B}$），结合$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，可得实数x，y，z的值．

解答 解：（1）如图，$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=$\overrightarrow{{D}_{1}D}$+$\overrightarrow{DB}$=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{D}_{1}A}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）．
（2）$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{D}_{1}D}$+$\overrightarrow{{D}_{1}B}$）
=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}B}$）
=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=-1．

点评 本题考查的知识点是空间向量的基本定义，向量在几何中的应用，数形结合思想，向量的运算，难度中档．