Question

【题目】已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．

（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈（，）时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】(1) 对称轴方程为得x=+，k∈Z，单调区间见解析;(2) 值域为（﹣，].

【解析】

（1）根据题意得到=，从而得到ω=1，f（x）=sin（2x+）+，令2x+=kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g（x）=sin（4x﹣）+，当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域.

（1）∵函数

sin2ωx+=sin（2ωx+）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，

∴ω=1，f（x）=sin（2x+）+．

令2x+=kπ+，求得x=+，

故函数f（x）的对称轴方程为得x=+，k∈Z．

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，

可得y=sin（2x﹣+）+=sin（2x﹣）+的图象；

再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到函数y=g（x）=sin（4x﹣）+的图象．

当x∈（，）时，4x﹣∈（﹣，），

∴sin（4x﹣）∈（﹣1，1]，

故函数g（x）的值域为（﹣，]．