Question

5．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=AC=$\sqrt{2}$，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E
（2）当异面直线AC，C₁E所成的角为$\frac{π}{3}$时，求三棱柱C₁-A₁B₁E的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC=$\sqrt{2}$，D是BC的中点，可得AD⊥BC，再利用直棱柱的性质可证：AD⊥平面BCC₁B₁，即可得出；
（2）由AC∥A₁C₁，可得∠B₁C₁A₁为异面直线AC，C₁E所成的角，为$\frac{π}{3}$，利用线面垂直的判定定理可得；A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，因此A₁C₁⊥A₁E．利用三棱柱C₁-A₁B₁E的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}×{A}_{1}{C}_{1}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
∵AB=AC=$\sqrt{2}$，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BB₁⊥AD，
又BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵C₁E?平面BCC₁B₁，
∴：AD⊥C₁E．
（2）解：∵AC∥A₁C₁，
∴∠B₁C₁A₁为异面直线AC，C₁E所成的角，为$\frac{π}{3}$，
∵A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥A₁C₁，
A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，
∴A₁C₁⊥A₁E，
∴${A}_{1}E={A}_{1}{C}_{1}tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，∴${B}_{1}E=\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}-{A}_{1}{B}_{1}^{2}}$=2，
∴三棱柱C₁-A₁B₁E的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}×{A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面与垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、直棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．